Mathematische Funktionen und Operationen der Analysis

Folgen und Reihen

Summenzeichen

Summenzeichen werden mit Hilfe des LaTeX-Befehls \sum umgesetzt. Aufgrund der Ähnlichkeit zur griechischen Majuskel $\Sigma$, ist es wichtig den Kontext zu berücksichtigen. Das Summenzeichen $\sum$ ist ein Operator und wird verwendet um die Summe einer Folge von Zahlen, Funktionen oder Termen darzustellen. Dahingegen wird die griechische Majuskel $\Sigma$ in der Regel als Symbol verwendet, beispielsweise zur Benennung einer Menge, einer Größe oder einer Variable.

Beispiel “Summenzeichen”

Original	Umsetzung
	Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen lautet $\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}$.

 

Produktzeichen

Produktzeichen werden mit Hilfe des LaTeX-Befehls \prod umgesetzt. Aufgrund der Ähnlichkeit zur griechischen Majuskel $\Pi$, ist es wichtig den Kontext zu berücksichtigen. Das Produktzeichen $\prod$ ist ein Operator und wird verwendet um das Produkt einer Folge von Zahlen, Funktionen oder Termen darzustellen. Dahingegen wird die griechische Majuskel $\Pi$ als einzelnes Symbol verwendet, beispielsweise zur Bezeichnung einer Menge.

Beispiel “Produktzeichen”

Original	Umsetzung
	Ein unendliches Produkt hat die Form: $\prod_{n=1}^{\infty}a_n=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot…$

 

Funktionen

Treten in Formeln Funktionen wie trigonometrische Funktionen oder die Exponential- oder Logarithmus-Funktion auf, werden diese durch die entsprechenden LaTeX-Befehle umgesetzt.

Beispiel “Exponential-, Logarithmus- und trigonometrische Funktionen”

Original	Umsetzung
$\exp$	$\exp$
$\log$	$\log$
$\ln$	$\ln$
$\sin$	$\sin$
$\cos$	$\cos$
$\tan$	$\tan$
$\cot$	$\cot$
$\arcsin$	$\arcsin$
$\arccos$	$\arccos$
$\arctan$	$\arctan$
$\sinh$	$\sinh$
$\cosh$	$\cosh$
$\tanh$	$\tanh$
$\coth$	$\coth$

 

Differenzialrechnung

Für Ableitungen einer Funktion haben sich verschiedene Notationen etabliert. Bei der Umsetzung ist es wichtig darauf zu achten, dass die Ableitungen wie im Originaldokument dargestellt, umgesetzt werden.

Lagrange Notation

Bei der Lagrange Notation werden die Ableitungen mit Primen dargestellt. Für eine Funktion f nimmt die erste Ableitung beispielsweise die Gestalt $f^{\prime}$ und die zweite Ableitung die Gestalt $f^{\prime\prime}$ an. Bei der Umsetzung wird diese Notation über Primen dargestellt und nicht durch spezielle LaTeX-Befehle.

Beispiel “Lagrange Notation”

Original	Umsetzung
	In der Lagrange Notation haben die erste und zweite Ableitung der Funktion $f(x)=x^3+5x$ folgende Form: $f'(x)=3x^2+5$ $f''(x)=6x$

 

Newton Notation

Bei der Newton Notation werden Ableitungen mithilfe von Punkten über der Funktion dargestellt. Beispielsweise ist für eine Funktion y die erste Ableitung von der Form $\dot{y}$ und die zweite Ableitung von der Form $\ddot{y}$. In der Umsetzung werden hierfür die LaTeX-Befehle \dot{} für einen Punkt, \ddot{} für zwei Punkte, usw. verwendet.

Beispiel “Newton Notation”

Original	Umsetzung
	Die Newton Notation wird oftmals in der Physik verwendet, um die zeitliche Ableitung einer Funktion darzustellen: $\dot{y}=\frac{dy}{dt}$, $\ddot{y}=\frac{d^2y}{dt^2}$

 

Leibniz Notation

Die Leibniz Notation erfolgt über Differentiale. Beispielsweise ist die erste Ableitung einer Funktion f nach x von der Form $\frac{df}{dx}$ und die zweite Ableitung wird mit $\frac{d^2f}{dx^2}$ dargestellt.

Beispiel “Leibniz Notation”

Original	Umsetzung
	In der Leibniz Notation kann die erste Ableitung einer Funktion $f(x)$ nach der Variablen x dargestellt werden als $\frac{df}{dx}$ Und die zweite Ableitung als $\frac{d^2f}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{df}{dx})$.

 

Partielle Ableitungen

Partielle Ableitungen werden häufig über das Symbol $\partial$ dargestellt. In der Umsetzung wird hierfür der LaTeX-Befehl \partial verwendet.

Beispiel “Partielle Ableitungen”

Original	Umsetzung
	Die partielle Ableitung der Funktion $f(x,y,...)$ nach der Variablen x lautet $\frac{\partial f}{\partial x}$.

 

Integralrechnung

Für die Schreibweise von Integralen wird der LaTeX-Befehl \int verwendet. Die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten von Integralen wie beispielsweise bei geschlossenen Integralen, werden durch Anpassungen des Grundbefehls erzielt.

Beispiel “Integrale”

Original	Umsetzung
$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx$	$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx$
$\int_a^bf(x)dx$	$\int_a^bf(x)dx$
$\int f(x)dx$	$\int f(x)dx$
$\iint f(x)dx$	$\iint f(x)dx$
$\iiint f(x)dx$	$\iiint f(x)dx$
$\oint f(x)dx$	$\oint f(x)dx$
$\oiint f(x)dx$	$\oiint f(x)dx$
$\oiiint f(x)dx$	$\oiiint f(x)dx$

 

Grenzwerte

Grenzwert und Konvergenz

Der Grenzwert oder auch Limes genannt, wird über den LaTeX-Befehl \lim wiedergegeben. Bei der Umsetzung des Grenzwerts wird der Grenzübergang angegeben, welcher optisch unterhalb von $\lim$ gesetzt wird. Diese Eigenschaft wird bei der Umsetzung nicht mit berücksichtigt. Für die Darstellung der Konvergenz wird ein Pfeil benötigt über dem Text eingefügt werden kann. Für dieses Vorgehen eignet sich der Befehl \xrightarrow{}.

Beispiel “Grenzwert und Konvergenz”

Original	Umsetzung
$\lim_{x\to a}f(x)$	$\lim_{x\to a}f(x)$
$X_n\xrightarrow{g}X$	$X_n\xrightarrow{p}X$

 

Maximum- und Minimumfunktion

Die Maximumfunktion $\max$ und Minimumfunktion $\min$ werden mit Hilfe der LaTeX-Befehle \max und \min umgesetzt.

Beispiel “Maximum- und Minimumfunktion”

Original	Umsetzung
	Gegeben sind zwei Intervalle $[a_1,b_1]$ und $[a_2,b_2]$. Die Schnittmenge dieser Intervalle ist: $[\max(a_1,a_2),\min(b_1,b_2)]$